RoCe Lotto - Biblioteca - Teoria e calcolo matematico dei ritardi

Ritardo Cronologico (abbr. "RC") delle combinazioni. - Per ritardo nel sorteggio di un numero, o di una combinazione di gioco, si intende lo spazio di tempo o il numero di estrazioni intercorrenti tra una estrazione di quel numero, o di quella combinazione, e quella immediatamente successiva.

Un numero è in ritardo di 30 estrazioni o un ambo è in ritardo di 200 estrazioni quando rispettivamente da 30 o da 200 estrazioni non sono stati sorteggiati. I ritardi si distinguono come appresso spieghiamo:

Ritardo Naturale (abbr. "RN"). - E’ quello che dovrebbe valutarsi in via tutt’affatto naturale, se i numeri o le combinazioni dovessero uscire dall’urna secondo la serie naturale dei numeri o delle combinazioni.

Il ritardo naturale di un numero come estratto semplice in una ruota è di 18 estrazioni perché se i numeri dovessero sorteggiarsi secondo l’ordine naturale, la prima estrazione conterrebbe i numeri 1-2-3-4-5, la seconda 6-7-8-9-10 e così via di seguito fino al novantesimo, per ricominciare poi daccapo, lo spazio o la distanza intercorrente tra una estrazione e l’altra di uno stesso numero risulterebbe appunto di 18 estrazioni.

Il ritardo naturale nell’estrazione di un ambo, per una ruota, è di 400,5 estrazioni perché gli ambi che possono comporsi con i 90 numeri sono 4005 e ad ogni prova, in una ruota, se ne estraggono 10: quindi se si disponessero 10 a 10 nella loro serie naturale, lo spazio tra i sorteggi successivi di uno stesso ambo risulterebbe di 400,5 estrazioni. Per tutte le ruote il ritardo naturale di un ambo è invece di 40 estrazioni poiché ad ogni prova vengono estratti 100 ambi (10 ambi x 10 ruote).

Ciò vale sempre quando la combinazione di gioco che si considera ammetta un’unica estrazione in quella completa di 5 numeri.

In ogni caso, tuttavia, e quindi anche quando possono aversi estrazioni multiple, il ritardo naturale è uguale all’inverso della probabilità di estrazione, come vedremo meglio in seguito. Se quindi, di una data combinazione di gioco, verrà stabilito che la probabilità di estrazione è, supponiamo, di 18/90, il ritardo naturale risulterà di 90/18 = 5 estrazioni.

Ritardo normale (abbr. "Rn"). - Siccome i numeri, nelle successive estrazioni, non vengono estratti secondo la loro serie naturale, ma casualmente, il ché costituisce precisamente la caratteristica del gioco del lotto, così avviene che nel corso delle estrazioni alcuni numeri escono con frequenza, mentre altri debbono avere, necessariamente, un ritardo superiore al naturale.

Dicesi normale il ritardo che si manifesta con frequenza del tutto normale, e, per meglio spiegarne il concetto, si immagini di prendere in considerazione un centinaio di estrazioni complete di 5 numeri, consecutive di una stessa ruota, e di depennare, via via, i 90 numeri che mano a mano si presentano secondo l’ordine della loro successiva estrazione.

Dopo la prima estrazione saranno stati depennati sicuramente 5 numeri; dopo la seconda, in generale ne saranno stati depennati altri 5, ma eventualmente anche solo 4 o meno, con la ripetizione di uno o più numeri della precedente estrazione; via via che si procede aumenta sempre più la possibilità di dover depennare numeri già estratti in precedenza, e quindi diminuisce quella di veder sortire numeri "nuovi"; si arriverà così alla 50^ estrazione in cui saranno da depennare ancora 4 numeri e, via via, si arriverà al momento in cui rimarrà un ultimo numero da depennare, il quale, a sua volta, verrà depennato supponiamo alla 78^ estrazione. Se tutto questo sarà avvenuto in via normale, e senza alcuna eccezione, diremo che il ritardo normale, per l’estrazione semplice di un numero in una ruota, è approssimativamente di 78 estrazioni. Il ritardo normale può quindi essere definito come il valore medio del ritardo che si manifesta nel sorteggio dell’ultimo numero rimasto scoperto, a partire da un’estrazione qualsiasi, se l’operazione suddetta dovesse ripetersi un grandissimo numero di volte con differenti serie di estrazioni.

Ora, si è parlato solo del ritardo normale di un numero, ma il ragionamento vale anche per qualsiasi altra combinazione ed in seguito si vedrà come sia possibile calcolarlo matematicamente ed in via assoluta.

Limiti di variabilità del ritardo normale. - Stabilito cosa si debba intendere per ritardo normale, e riferendoci all’esempio precedente, è facile pensare che prima di arrivare alla 78^ estrazione i numeri da depennare, in un dato momento, erano due invece di uno, e che l’ultimo è rimasto tale a partire supponiamo dalla 70^ estrazione. Se tutto è avvenuto normalmente, è altrettanto facile pensare che fra i valori 70 e 78 c’è un limite al di sotto del quale è più probabile che i numeri da depennare fossero due e al di sopra uno; diremo allora che tale limite, ad esempio 73, è il limite inferiore di variabilità del ritardo normale. Parimenti il limite superiore si può definire quello al di sotto del quale è più probabile che i numeri da depennare siano uno, e al di sopra che non vi sia più alcun numero da depennare, per esempio 89. I limiti di variabilità del ritardo normale sarebbero quindi, nel caso in esame, da 73 ad 89.

Anche questi limiti, entro cui cioè può variare il ritardo normale, senza strappo per la legge di probabilità, possono venire matematicamente calcolati come vedremo in seguito.

Ritardo vero e proprio - Ritardo massimo - Buon ritardo. - Oltrepassato il limite superiore di variabilità del ritardo normale comincia il vero e proprio ritardo nel sorteggio dei numeri e delle combinazioni. Finché il ritardo è contenuto nei limiti del ritardo normale, il ritardo stesso non ha niente di eccezionale, ed anzi risponde alla legge di probabilità; l’eccezionalità comincia dopo l’anzidetto limite superiore, ed evidentemente sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà il distanziamento dal limite stesso. Quello, tra tutti i ritardi riscontrati superiori al ritardo normale, che avrà praticamente raggiunto il più alto valore sarà il ritardo massimo riscontrato per la combinazione considerata. Ora bisogna osservare che il ritardo massimo, a differenza del ritardo normale, non ha, e non può mai avere, un valore assoluto, ma è sempre relativo al tempo o al numero di estrazioni prese in esame. Ed infatti è intuitivo che il ritardo massimo riscontrabile prendendo in esame le estrazioni supponiamo degli ultimi 50 anni, possa e debba avere un valore superiore a quello che verrà riscontrato nel periodo dei soli ultimi 10 anni; com’è altrettanto intuitivo che qualunque ritardo massimo riscontrato con le estrazioni del passato possa essere superato nelle estrazioni future.

Ogni ritardo quindi, superiore al normale, ha una propria valenza connessa ad un certo numero di estrazioni, tanto maggiore quanto maggiore è il numero di estrazioni stesse. Ognuno può scegliere la valenza che più gli aggrada e stabilire che sia un buon ritardo quello che si verifica a partire da un certo limite, salvo naturalmente la maggiore o minore probabilità che il limite sia superato secondo la valenza adottata. In seguito il ritardo massimo delle combinazioni verrà calcolato in base alle estrazioni avvenute dal 1° Gennaio 1871 a tutto il 2002, con l’avvertenza che tali estrazioni dal 1871 verranno considerate non come se fossero cominciate in quell’epoca, ma come se fossero il seguito di estrazioni antecedenti, cui avessero trovato riferimento per il calcolo dei ritardi. Nel periodo anzidetto si ebbero 173 estrazioni su 7 ruote, 3400 estrazioni per 8 ruote e 3632 estrazioni per 10 ruote, per un totale di 7205 estrazioni complete di 5 numeri, quindi un totale che assomma a 865 estratti su ogni ruota nel periodo a 7 compartimenti, 17.000 su ogni ruota nel periodo ad 8, e 18.160 su ogni ruota nel periodo a 10 compartimenti. La somma dei vari totali è di 323.655 estratti, cui bisogna detrarre 605 estratti per i salti su varie ruote dovuti al periodo bellico e ad un’estrazione completa non effettuata nel 1961. Esattamente quindi, nella storia delle estrazioni del lotto, nel periodo compreso tra il 1° Gennaio 1871 ed il 31 Dicembre 2002, sono stati estratti un totale di 323.050 numeri.

La ricerca esatta della probabilità favorevole o contraria di una data combinazione è essenziale per il calcolo matematico dei ritardi.

Nella impossibilità di sviluppare un trattato, come sarebbe necessario data la complessità dei casi che verranno esaminati, ci limiteremo, in questo paragrafo, a dire quel tanto che si ritiene assolutamente indispensabile, contenendo la esemplificazione ai casi di cui dovremo occuparci in seguito.

La probabilità può essere semplice o composta: è semplice quando si riferisce ad un’unica estrazione completa di 5 numeri; è composta quando si riferisce ad una serie di due o più estrazioni complete e consecutive. Ci si può chiedere infatti: qual è la probabilità di estrarre un ambo nell’estrazione di 5 numeri? E’ un caso di probabilità semplice. Se invece ci si chiede qual è la probabilità che lo stesso ambo non sia estratto in 10 estrazioni consecutive?, si tratta di un caso di probabilità composta.

Si sono manifestati subito i concetti contrari di ESTRAZIONE e di NON ESTRAZIONE di una data combinazione, perché il concetto negativo, per la ricerca matematica dei ritardi, ha un valore preponderante; ed infatti il ritardo nel sorteggio di una combinazione non è che una serie di estrazioni negative, nelle quali cioè la combinazione NON è stata sorteggiata.

Ora se la probabilità di estrarre una data combinazione è, supponiamo, di 15/80, la probabilità di non estrarla è il complemento all’unità e cioè 65/80, ed infatti se 15 su 80 sono le probabilità che si verifichi un dato fatto, 65 su 80 saranno quelle che non si verifichi.

Probabilità semplice. - La probabilità di un dato avvenimento viene in ogni caso definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli, al verificarsi di quell’avvenimento, e il numero di tutti i casi egualmente possibili. E’, questo, un principio di ordine assoluto che bisognerà tenere sempre ben presente per la ricerca della probabilità, specie nei casi complessi, in cui ogni altra considerazione, intesa alla stessa ricerca, può fuorviare e portare a risultati non esatti. Quando invece di un dato avvenimento si saranno stabiliti tutti i casi possibili e, tra questi, si saprà quanti sono quelli favorevoli senza pericolo di errore, la probabilità sarà data dal rapporto fra il secondo ed il primo valore. Alcuni esempi pratici chiariranno il concetto di probabilità ed il modo di effettuarne il calcolo come sopra indicato. Si voglia conoscere la probabilità di estrazione di un numero come 1° estratto in una ruota. E’ il caso più semplice che possa presentarsi, ed il ragionamento da seguire è elementare: i casi possibili sono 90 in quanto tutti i 90 numeri hanno la stessa probabilità di sortire per primi; i casi favorevoli sono uno e cioè quello di estrarre il numero dato, e quindi, senza possibilità di errore, la probabilità favorevole cercata è 1/90. Si voglia conoscere la probabilità di fare ambo in una ruota. Il ragionamento che comunemente viene fatto è il seguente: con 90 numeri si possono comporre 4005 ambi ed ogni volta, su una ruota, se ne estraggono 10 perché tanti se ne compongono con i 5 numeri estratti, quindi la probabilità è 10/4005 = 1/400,5. Il ragionamento è esatto ma quanti sono i casi possibili e quanti quelli favorevoli? I casi favorevoli sono solo quelli in cui figura l’ambo che si gioca e, quasi certamente, nessuno dei 10 di cui sopra sarà quello giocato.

Il ragionamento che bisognerebbe fare invece, con la sicurezza di non incorrere in errore, è il seguente: ogni volta, in una ruota, viene estratta una cinquina; con 90 numeri si possono formare 43.949.268 cinquine (numero di casi possibili) e tra queste 109.736 contengono l’ambo giocato (numero di casi favorevoli che è dato da tutti i terni che si formano con 88 numeri, escludendo ovviamente i due numeri dell’ambo), e quindi la probabilità cercata è 109.736/43.949.268 uguale a 10/4005 come può facilmente verificarsi. I risultati, in questo caso, coincidono, ma si insiste sulla opportunità di considerare sempre e comunque i casi possibili e quelli favorevoli perché esistono reali possibilità di errore, come dimostreremo con il successivo esempio.

Si voglia conoscere la probabilità contraria di un ambo su 4 numeri giocati su una ruota. Il ragionamento più semplice è questo: se giocando un ambo si hanno 10/4005 probabilità di estrarlo, giocandone 6 (tanti ne contiene una quartina) si avranno 60/4005 probabilità di estrarne uno, e quindi la probabilità di non estrarne alcuno sarà di 3945/4005. Ecco che, pur con un ragionamento tanto semplice ed apparentemente inoppugnabile, si è caduti in un errore che sarebbe stato evitato se si fossero considerati tutti i casi possibili ed i casi favorevoli. Infatti con 90 numeri si formano 43.949.268 cinquine divise come segue:

Ora, i casi favorevoli alla non estrazione di un ambo sono evidentemente i due primi valori che hanno per somma 43.320.522 e quindi la probabilità cercata è 43.320.522/43.949.268 vale a dire 3948/4005, valore evidentemente superiore a 3945/4005.

In questo caso la differenza è lieve, sufficiente tuttavia per stabilire una mancanza di identità, ma se la probabilità di non estrarre un ambo, anziché su 4, si fosse cercata su 10 o 20 numeri, allora sarebbe stata rilevante e tutt’altro che trascurabile. Da questo semplice esempio si evince che l’esattezza nell’impostazione iniziale del problema è indispensabile per la ricerca matematica dei ritardi.

La ragione dell’anzidetta differenza va’ ricercata nel fatto che il rapporto 60/4005 non rappresenta la probabilità di estrarre un ambo su 4 numeri giocati, probabilità che è invece rappresentata dal rapporto 628.746/43.949.268 in cui i 628.746 casi favorevoli sono dati dalla somma degli ultimi tre valori della distinta di cui sopra.

Ma tali valori rappresentano cinquine di cui 614.040 sono con l’estrazione semplice di un ambo, 14.620 con l’estrazione multipla di 3 ambi ed 86 con l’estrazione di tutti i 6 ambi che si possono comporre con i 4 numeri dati.

Nel complesso di tutte le cinquine che si compongono con 90 numeri, si ha pertanto un totale di 658.416 ambi, e se si considerano le cinquine come estrazioni diverse e successive, occorrerebbe giocare 43.949.268 volte per vincere sicuramente 658.416 ambi.

Perché il gioco sia equo la spesa delle giocate dev’essere perfettamente compensata dalla vincita degli ambi, il ché vuol dire che ogni ambo dovrebbe essere pagato in ragione di 43.949.268/658.416 (cioè 66.75) la posta giocata, o anche che i numeri 658.416 e 43.949.268 stanno fra di loro come la posta giocata e quella pagata per la vincita di un ambo.

Il rapporto 658.416/43.949.268 verrà perciò definito come il rapporto equitativo del gioco in esame. Ma tale rapporto è perfettamente uguale a 60/4005, come si può facilmente verificare, e quindi 60/4005 non rappresenta la probabilità di estrarre un ambo su 4 numeri giocati, ma rappresenta invece il rapporto equitativo del gioco in considerazione.

Riportiamo un ultimo esempio per dimostrare, qualora ve ne fosse bisogno, la necessità di rintracciare i casi possibili ed i casi favorevoli.

Si voglia conoscere la probabilità di non estrarre un ambo, in una ruota, nei seguenti due gruppi di tre ambi:

Con ragionamento semplicista si dovrebbe ammettere che trattandosi, in ogni caso, di giocare tre ambi in una ruota, la probabilità di estrarre, e quindi anche di non estrarre, un ambo qualsiasi dei due gruppi, è identica. A priori invece si può riconoscere che una diversità nel comportamento dei due gruppi deve sussistere, dato che gli ambi del primo gruppo hanno le possibilità di essere sorteggiati tutti e tre contemporaneamente, mentre quelli del 2° gruppo non potranno mai uscire contemporaneamente, ed uno dei tre, perlomeno, sarà sempre sacrificato. Ma in quale misura è la diversità di comportamento dei due gruppi? Per determinarla bisogna necessariamente ricorrere alla ricerca dei casi possibili e dei casi favorevoli, per il primo gruppo come per l’altro. Per il primo gruppo le combinazioni che possono farsi con i 90 numeri a 5 a 5, e cioè le cinquine, che abbiamo detto essere in numero di 43.949.268, si dividono come appresso:

e quindi la probabilità di non fare alcuno dei tre ambi del primo gruppo è 43.627.542/43.949.268, essendo i casi favorevoli rappresentati dalla somma dei due valori "a" e "b".

e quindi, in questo caso, la probabilità di non fare alcuno dei tre ambi del 2° gruppo è data da 43.620.318/43.949.268 leggermente inferiore a quella del 1° gruppo, come era da prevedersi.

La differenza è piccola, ma esiste, e stabilisce che le combinazioni di sorteggiare un ambo del 2° gruppo sono più numerose di quelle del 1° gruppo, in dipendenza della diversità delle combinazioni multiple che, nel 1° gruppo, consentono l’estrazione anche di tutti e tre gli ambi, mentre nel 2°, al massimo, ne verranno sorteggiati due. Anche qui, se invece di tre ambi, si fosse trattato di 10, 20 o 30, più o meno, per così dire, compatibili, la differenza nella probabilità sarebbe stata rilevante e tutt’altro che trascurabile. Perché il lettore non sia indotto a cadere in equivoco e ritenere che sia economicamente più conveniente giocare il 2° gruppo di 3 ambi invece del 1°, è bene chiarire ulteriormente i concetti di estrazione e di non estrazione di una combinazione nei riguardi del concetto di rapporto equitativo che ha valore assoluto.

Nel caso in esame, le possibilità di sorteggiare un ambo sono differenti nei due gruppi di tre ambi, ma il rapporto equitativo è perfettamente uguale nel 1° gruppo, come nel 2°.

Infatti tale rapporto è dato dal numero totale degli ambi contenuti nelle relative cinquine, rapportato al numero complessivo delle cinquine stesse. Se quindi il numero degli ambi risulterà uguale per i due gruppi, allo stesso modo risulterà uguale il rapporto equitativo.

i coefficienti 1/5, 3/5, 6/5 e 2 indicano la quarta parte degli ambi contenuti nelle relative cinquine, ed infatti solo 1/5 delle cinquine con due dei numeri 1-2-3-4-5-6 contengono uno dei tre ambi, e così per gli altri coefficienti.

Il rapporto equitativo risulta pertanto uguale a 329.208/43.949.268 per ognuno dei due gruppi, mentre la probabilità di sorteggiare un ambo sono diverse, in dipendenza del diverso numero di cinquine con combinazioni multiple.

Si nota anche qui che la frazione 329.208/43.949.268 è matematicamente uguale a 30/4005, come si può facilmente verificare, e cioè è uguale al rapporto equitativo, così come può essere stabilito con il ragionamento semplicista che comunemente viene fatto.

Chiarito così il significato di rapporto equitativo della probabilità di sorteggiare e di non sorteggiare una data combinazione di gioco, sembra che su tale argomento non vi sia altro da aggiungere; gli esempi riportati appaiono sufficienti per le analoghe determinazioni del rapporto equitativo e delle probabilità di estrazione e di non estrazione in tutti i casi di cui dovremo occuparci in seguito.

Probabilità composta. - Anche la probabilità composta non è che il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di tutti i casi possibili. La differenza stà nel fatto che, conosciuta la probabilità semplice di una data combinazione, la probabilità composta si ottiene molto facilmente moltiplicando per se stessa la probabilità semplice tante volte quante sono le estrazioni per cui si chiede la probabilità composta stessa.

A chiarimento viene riportato il seguente esempio: si voglia conoscere la probabilità che in due estrazioni consecutive non venga estratto un numero pari come 1° estratto in una ruota.

I casi possibili sono 4 e cioè: nella 1^ e nella 2^ estrazione si estraggono numeri pari; nella prima si estrae un numero pari e nella 2^ un numero dispari; nella 1^ un numero dispari e nella 2^ un numero pari; nella 1^ e nella 2^ due numeri dispari. Dei quattro casi possibili solo l’ultimo è favorevole al quesito impostato e quindi la probabilità cercata è uguale ad 1/4. Ma la probabilità semplice di non estrarre un numero pari è uguale a 1/2, e 1/4 è precisamente uguale a 1/2 x 1/2.

Se invece di 2 estrazioni se ne volessero considerare 3, con ragionamento analogo si troverebbe che la probabilità composta è uguale a 1/2 x 1/2 x 1/2 = (1/2)3 = 1/8, e risalendo dal caso specifico al generale si può dire che se a/b è la probabilità semplice che una data combinazione non sia estratta in una estrazione, la probabilità composta che la stessa combinazione non sia estratta in n estrazioni è uguale a: (a/b)n.

Questa espressione esponenziale ha una grande importanza per il calcolo matematico dei ritardi, anzi si può dire che essa rappresenta la base sulla quale viene fondato il calcolo stesso.

Vedremo in seguito come, per il suo calcolo numerico, sia necessaria la conoscenza del calcolo logaritmico, del resto molto semplice, trattandosi di espressione elementare affatto complessa.

Agli effetti di questa trattazione la probabilità composta è stata definita solo in funzione di un certo numero di estrazioni negative al verificarsi di una data combinazione, ma questo non è che un caso particolare, avendo la probabilità composta un significato assai più ampio e generale, che però ora non è il caso di approfondire.

Le combinazioni elementari che interessano chi ha fondato o vuol fondare il sistema di gioco sui ritardi sono tre: estratto semplice, estratto determinato ed ambo. Con il regolamento di gioco attualmente in uso non è più possibile puntare sulla sorte di estratto determinato, ma vengono comunque riportati i dati relativi a questa sorte per dovere di completezza di informazione.

Per ognuna di tali combinazioni elementari, e dei molteplici raggruppamenti numerici con cui sono spesso associate, le estrazioni eseguite nel passato sono state in numero sufficiente da consentire il ripetersi, molte volte, del sorteggio delle combinazioni stesse, e quindi è stato possibile, nella molteplicità dei casi avvenuti, di rintracciare non solo il ritardo normale, ma ciò che più interessa, i ritardi eccezionali o i grandi ed i massimi ritardi.

Se si considerano invece i terni, o peggio le quaterne, le estrazioni avvenute nel passato sono ancora ben lontane dall’avere sorteggiato, una volta sola, tutti i terni e le quaterne che si possono comporre con i 90 numeri, e quindi, mediante l’indagine statistica nessuna utile indicazione è possibile attendersi per tali combinazioni. L’indagine con il metodo matematico invece, che prescinde dai risultati pratici e stabilisce solo dei risultati astratti e teorici, può benissimo essere estesa anche ai terni ed alle quaterne, ma in questo studio viene limitata alle combinazioni elementari anzidette, come quelle che offrono la possibilità di confrontare i risultati ottenuti con i due metodi, teorico e pratico.

Estratto semplice. - L’estratto semplice è una combinazione di gioco che si presta, per sé stessa, ad essere giocata solo su ruota determinata, una o più, e non su Tutte. Chiaramente, i dati che in seguito vengono riportati riguardanti il ritardo su Tutte dell’estratto semplice hanno la loro validità, anche pratica come vedremo.

Agli effetti della ricerca matematica dei ritardi c’è differenza tra una ruota specifica ed una qualsiasi delle dieci ruote, perché il campo dell’indagine, nel 2° caso, è 10 volte maggiore che nel primo. Quando poi un gioco qualsiasi viene fatto in Tutte le ruote, bisogna immaginare che il gioco stesso sia fatto in un’unica ruota cumulativa, nella quale ogni estrazione ne rappresenta 10, e quindi i ritardi teorici per Tutte le ruote, in questa come per tutte le altre combinazioni di gioco, sono la decime parte di quelli che risulteranno dal calcolo per una qualsiasi delle 10 ruote.

Se per esempio verrà stabilito che il ritardo massimo di una data combinazione, per una qualsiasi delle dieci ruote, è supponiamo di 220 estrazioni, il ritardo massimo per Tutte le ruote risulterà allora di 220/10 = 22 estrazioni. Il gioco di estratto semplice può essere fatto, oltre che per se stesso, anche con raggruppamenti vari (consecutivi, simmetrici, vertibili, sincroni etc.).

Quando il gioco è riferito ad una ruota determinata o a Tutte le ruote, si hanno 5 campi nei quali può essere sviluppato e cioè il 1°-2°-3°-4°-5° estratto; quando invece viene fatto in una qualsiasi delle dieci ruote, i campi sono 50 e cioè tanti quanti sono gli estratti determinati delle dieci ruote.

Per il calcolo dei ritardi il maggiore numero dei campi comporta un maggiore numero di casi attraverso i quali l’indagine va fatta, e quindi sin d’ora, stabilirsi a priori, che i risultati ottenibili dal gioco fatto in una qualsiasi delle dieci ruote, saranno sempre superiori a quelli di una ruota determinata. Per il gioco in Tutte le ruote si è già detto che i ritardi sono la decima parte di quelli calcolati per una qualsiasi delle dieci ruote. Trattandosi di una combinazione di gioco più difficilmente sorteggiabile dell’estratto semplice, e quindi a più alto premio unitario, è ovvio che tutti i raggruppamenti considerati per l’estratto semplice, trovano impiego anche nell’estratto determinato, ed in più il gioco si presta utilmente anche nei raggruppamenti di 8 e più numeri.

Parlando poi della probabilità composta si è accennato alla grande importanza che, per il calcolo matematico dei ritardi, ha l’espressione esponenziale (a/b)n che stabilisce la probabilità che una data combinazione non sia estratta, cioè ritardi, dopo n estrazioni, se a/b è la probabilità semplice che la stessa combinazione non sia estratta in una estrazione.

Ora, come si noterà, l’espressione suddetta dà la probabilità in funzione del numero n delle estrazioni negative, o del ritardo; se quindi è possibile, con altre considerazioni, stabilire un’altra espressione che indichi ugualmente la probabilità della mancata estrazione della data combinazione, uguagliando i due valori e risolvendo l’equazione che viene a stabilirsi, si ottiene senz’altro il numero delle estrazioni negative o di ritardo. In altri termini, se (a/b)x è la probabilità della mancata estrazione di una combinazione dopo x estrazioni, e se con altre considerazioni è possibile stabilire che la stessa probabilità è anche uguale a c/d, facendo (a/b)x = c/d, e risolvendo l’equazione rispetto ad x, si otterrà senz’altro il valore del ritardo incognito.

Le equazioni che verranno prese in considerazione in seguito, per il calcolo di qualsiasi ritardo, avranno tutte la forma di quella precedentemente stabilita, e ciò semplificherà di molto questa trattazione perché imparato a risolverne una, con identico procedimento si risolveranno tutte le altre.

Parlando della probabilità, nel capitolo precedente, si è detto che questa è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, al verificarsi o al non verificarsi di una data combinazione, e quindi il primo membro dell’equazione antecedente, che chiameremo d’ora in poi equazione risolutiva, è sempre relativamente facile da calcolare; il problema pertanto è ridotto alla ricerca del 2° membro dell’equazione e cioè della stessa probabilità del ritardo, con considerazioni matematiche diverse ed indipendenti da quelle che hanno portato alla formulazione del 1° membro, il ché verrà fatto con opportuni esempi per stabilire sia il ritardo normale che il ritardo massimo, come appresso.

E così, per portare un altro esempio pratico, se si volesse determinare il ritardo normale nel sorteggio di un ambo su una ruota, bisognerebbe via via depennare i 4005 ambi che si possono comporre con i 90 numeri, mano a mano che si presentano nelle successive estrazioni, e così con la prima estrazione se ne depennerebbero sicuramente 10, con la seconda quasi certamente altri 10 (ma anche meno), e così via fino all’ultimo ambo rimasto scoperto. Se quest’ultimo, mediamente, verrà depennato all’incirca dopo 3300 estrazioni, tale valore sarà il ritardo normale per l’estrazione di un ambo su una ruota.

Ora il criterio da seguire per avere un’altra indicazione della probabilità del ritardo normale, risiede appunto nel fatto che tale ritardo si manifesta nell’ultimo dei 90 numeri rimasto da depennare nel 1° esempio, e nell’ultimo dei 4005 ambi nel 2°; nell’un caso come nell’altro, quest’ultima combinazione rimasta scoperta, deve considerarsi come un unico caso favorevole (al ritardo normale) su una serie di 90 (o 4005) casi possibili.

Con altro ragionamento si può dire: sui 90 numeri ce n’è uno che raggiunge il ritardo normale e quindi la probabilità di tale ritardo normale è 1/90. Analogamente, sui 4005 ambi l’ultimo da depennare, che stabilisce il ritardo normale, ha la probabilità di 1/4005.

Ecco quindi trovato anche il 2° membro dell’equazione risolutiva, sicché il ritardo normale risulta perfettamente determinato. Generalizzando, il 2° membro dell’equazione risolutiva è uguale a 1 diviso il numero delle combinazioni che possono comporsi con i 90 numeri, riferendosi ovviamente alla combinazione di gioco che si considera. Se si denomina N tale numero, l’equazione risolutiva assume la forma:

Ora si è in grado di risolvere molto semplicemente anche il seguente problema: dopo quante estrazioni i numeri, o le combinazioni, ancora da depennare saranno 2 invece di 1 ?

Detto y il nuovo numero cercato, con ragionamento analogo, si arriverà alla equazione:

E’ chiaro che il numero y risulterà inferiore ad x ed è altrettanto chiaro che tra y ed x esiste un terzo numero z, al di sotto del quale è più probabile che le combinazioni da depennare siano 2 e al di sopra del quale che siano 1; il valore di z, che evidentemente deve risultare dall’equazione risolutiva:

E’ ciò che venne definito il limite inferiore di variabilità del ritardo normale, quel limite cioè entro cui può variare il ritardo normale in piena armonia con la legge di probabilità. Analogamente il limite superiore v di variabilità del ritardo normale risulta dall’equazione risolutiva:

Il compito, in questo caso, risulta facilitato dalle considerazioni già fatte per il ritardo normale, in quanto il ragionamento con il quale si arriva a stabilire una seconda formulazione della probabilità del ritardo massimo è del tutto analogo.

Nel precedente capitolo, parlando del ritardo massimo, si è detto che tale ritardo non può avere un valore assoluto, ma è sempre relativo al tempo o al numero delle estrazioni che si prendono in considerazione. E’ necessario quindi innanzitutto fissare i termini entro i quali si vuole che l’indagine sia contenuta, perché con il variare di tali termini variano pure i risultati dell’indagine.

In questo studio, come è già stato detto, il ritardo massimo verrà stabilito in base alle estrazioni avvenute dal 1° gennaio 1871 a tutto il 2002, con le avvertenze già evidenziate all’inizio.

Ora, per il ritardo massimo di una data combinazione, bisogna fare il seguente ragionamento: in tutti i casi verificatisi nelle estrazioni dal 1871, relativamente alla combinazione in esame, ce n’è uno in cui si è verificato il ritardo massimo che si cerca. Se tale ritardo massimo si fosse verificato in base alla legge di probabilità, il valore della probabilità stessa avrebbe dovuto essere uguale ad uno (caso favorevole al ritardo massimo) diviso per il numero di tutti i casi verificatisi relativamente alla combinazione considerata (numero dei casi possibili, in questo caso effettivamente verificatisi).

Detto quindi M tale numero di casi verificatisi dal 1871, la probabilità cercata è uguale a 1/M, e l’equazione risolutiva resta perfettamente definita.

Tutto si riduce quindi a ricercare il numero M dei casi avvenuti dal 1871 relativamente alla combinazione di cui si vuol conoscere il ritardo massimo, il quale, con la soluzione dell’equazione risolutiva, resterà matematicamente determinato a norma di legge di probabilità.

Valenza di un dato ritardo. - Terminiamo questo paragrafo con l’accennare al problema inverso, mediante il quale è possibile calcolare ciò che abbiamo chiamato la valenza di un dato ritardo, e cioè il numero delle estrazioni, complete di 5 numeri, cui è connesso il ritardo stesso.

E’ chiaro che se data la probabilità a/b della non estrazione di una data combinazione di gioco, e dato il numero M dei casi verificatisi dal 1871 relativamente alla combinazione stessa il ritardo massimo x risulta dalla soluzione dell’equazione risolutiva:

Dati invece la probabilità a/b e il ritardo x, con la soluzione della stessa equazione risolutiva potrà calcolarsi il numero M dei casi connessi al dato ritardo mediante la formula:

In detta equazione, per il calcolo della valenza, i termini x ed M invertono le loro funzioni, e ciò che prima era termine incognito ora diventa termine noto e viceversa.

Stabilito il numero M dei casi connessi al ritardo x trattasi poi di determinare il numero delle estrazioni cui gli M casi si riferiscono ed anche qui il problema è inverso a quello per il ritardo massimo.

La ricerca della valenza di un dato ritardo ha grande importanza perché offre al giocatore sistematico la possibilità di valutare e di pesare quasi il grado di probabilità raggiunto dal ritardo stesso e di conoscere entro quale numero di estrazioni o limite di tempo non si è, teoricamente, verificato un ritardo superiore a quello in esame.

Per determinare i termini dell’equazione risolutiva per il calcolo dei ritardi, sia nel 1° che nel 2° membro, è necessario avere qualche cognizione di calcolo combinatorio, almeno per i casi pratici che verranno considerati come applicazione della presente teoria.

Ed infatti l’equazione risolutiva, nella sua forma più generale, (a/b)x = c/d, ha per termini:

a - numero dei casi favorevoli al non verificarsi di una determinata combinazione di gioco;

c - uguale ad 1 per la ricerca del ritardo normale e del ritardo massimo; uguale ad 1,50 e 0,50 per la ricerca dei limiti di variabilità del ritardo normale;

d - numero delle combinazioni che possono comporsi con i 90 numeri relativamente al gioco che si considera per la ricerca del ritardo normale, ed uguale invece al numero di tutti i casi verificatisi dal 1871, relativamente al gioco considerato, per la ricerca del ritardo massimo.

Abbiamo ritenuto opportuno ribadire, anche a costo di apparire troppo prolissi, questi dati perché fondamentali.

In ogni caso quindi i tre termini a-b-d sono quantità che bisogna saper determinare, evidentemente, mediante il calcolo combinatorio.

Nel precedente capitolo, parlando delle probabilità, si è detto spesso qual’è il numero delle cinquine che si possono comporre con i 90 numeri e si anche detto quante di queste cinquine contengono 1, 2, 3 o più numeri dati, senza indicare però il modo di eseguire il calcolo, quindi il lettore che non conosce i fondamenti del calcolo combinatorio dev’essere rimasto alquanto perplesso.

Sopperiamo ora alla omissione, naturalmente entro i limiti di questa volgarizzazione, e riportiamo innanzitutto la formula generale con la quale è possibile calcolare la quantità delle combinazioni di m numeri presi n ad n, come sarebbero i 90 numeri presi 2 a 2 nel caso dell’ambo, 3 a 3 per il terno e così via.

Detta formula generale, chiamando N il numero delle combinazioni cercate, è la seguente:

Nessuno si spaventi per l’apparente complessità dell’anzidetta formula, perché invece è semplicissima nelle sue applicazioni pratiche, come risulta dalle seguenti determinazioni:

Se la determinazione della probabilità di una data combinazione viene fatta in base alle cinquine, nel senso di stabilire quante cinquine tra tutte contengono quella combinazione di gioco, allora 43.949.268 sarà sempre il numero dei casi possibili, sarà cioè il termine b della formula generale risolutiva e, tra questi casi possibili, bisognerà poi stabilire quanti sono i favorevoli.

Si voglia ora conoscere, per esempio, quante delle 43.949.268 cinquine contengono uno, due, tre, quattro o cinque dei primi 10 numeri naturali, dall’uno al dieci.

Questo esempio occorre per determinare la probabilità di non estrarre (si parla sempre di estrazioni negative, per via dei ritardi) un numero come estratto semplice, o un ambo in una decina, ed il procedimento che verrà seguito può essere generalizzato e quindi applicato anche per altre determinazioni analoghe.

Bisogna innanzitutto dividere i 90 numeri dell’urna in due gruppi, uno con i primi 10 numeri e l’altro con i rimanenti 80, e calcolare poi con la formula generale vista in precedenza, quante delle combinazioni di numero semplice, ambo, terno, quaterna e cinquina si possono comporre con i 10 numeri del 1° gruppo e con gli 80 del 2°.

Con analogo procedimento abbiamo per il 2° gruppo da 80 numeri i seguenti risultati:

Ora, evidentemente, le combinazioni che non contengono alcuno dei primi 10 numeri sono le cinquine del 2° gruppo e cioè: 24.040.016.

Le combinazioni che ne contengono uno sono le quaterne del 2° gruppo moltiplicate per i numeri semplici del 1° e cioè: 1.581.580 x 10 = 15.815.800.

Quelle che ne contengono due sono i terni del 2° gruppo moltiplicati per gli ambi del 1°: 82.160 x 45 = 3.697.200.

Quelle che ne contengono tre sono gli ambi del 2° gruppo moltiplicati per i terni del 1°: 3.160 x 120 = 379.200;

Quelle che ne contengono quattro sono i numeri semplici del 2° gruppo moltiplicati per le quaterne del 1°: 80 x 210 = 16.800;

Se i calcoli sono stati ben eseguiti, il totale delle combinazioni dev’essere pari al totale delle cinquine componibili con 90 numeri (cioè 43.949.268). Infatti:

Determinate e raggruppate le combinazioni come spiegato, è facile risalire a quelle che sono favorevoli al verificarsi o al non verificarsi di una data sorte, e così si può stabilire che la probabilità di non estrarre uno dei primi 10 numeri, o anche un numero qualsiasi di una decina, è uguale a 24.040.016 / 43.949.268 e che la probabilità di non estrarre un ambo qualsiasi, formato con i primi 10 numeri, o con i numeri di una qualsiasi decina, è uguale a:

L’esempio portato è sufficiente per determinare la esatta probabilità di tutte le combinazioni di gioco elementari e dei relativi raggruppamenti numerici che verranno considerati nella seconda parte del presente studio, quindi, per adesso, ci fermiamo qui.

Avvertiamo però che la probabilità delle combinazioni di gioco, in molti casi, può essere ottenuta in altri modi, ma il metodo indicato è quello che porta a risultati assolutamente immuni da possibili errori. La ricerca poi delle combinazioni e dei casi per la determinazione del 2° membro dell’equazione risolutiva, sia che si tratti del ritardo normale che dei ritardi massimi, molte volte è un po’ complessa, ma in genere non offre difficoltà quando si tengano sempre ben presenti le condizioni generali del gioco in considerazione e la formula indicata per il calcolo combinatorio.

Per la ricerca dei ritardi massimi, quando un determinato gioco ammette estrazioni multiple, allora, nel calcolo dei casi relativi verificatisi dal 1871, interviene un altro fattore, di cui non si è ancora parlato, ed è il cosiddetto fattore di riduzione. Per spiegarne la funzione ed il significato si immagini di prendere in esame il gioco di estratto semplice, in una ruota qualsiasi, nella serie degli otto numeri gemelli (11-22-33-44-55-66-77-88) e di voler determinare tutti i casi che possono essersi verificati nelle estrazioni dal 1871 al 2002. Per tale gioco saranno già state fatte le seguenti determinazioni:

Ricordiamo che per rapporto equitativo si intende il rapporto tra la posta puntata e il premio che dovrebbe essere corrisposto se il gioco fosse equo.

Trattasi ora di stabilire quanti numeri gemelli possono essere stati estratti nei complessivi 323.050 numeri estratti su tutte le ruote dal 1871.

e questo sarebbe senz’altro il numero dei casi da prendere in considerazione per la ricerca del ritardo massimo, se non esistessero estrazioni multiple o se alcune estrazioni complete di 5 numeri non contenessero 2, 3, 4 o anche 5 numeri gemelli.

Quando invece una stessa estrazione completa contiene più di un numero gemello, agli effetti del ritardo è come se ne contenesse uno solo, perché tutti gli altri oltre il 1° non trovano che l’identico riferimento dello stesso, ed è necessario perciò ridurre i 28.715 casi come sopra stabiliti, in proporzione delle estrazioni con numeri gemelli, rapportate al numero completo dei gemelli stessi.

Interviene così il fattore di riduzione che non è altro che il quoziente tra la probabilità di estrazione ed il rapporto equitativo, e cioè nel caso in esame:

Ed infatti basta pensare al significato della probabilità di estrazione e del rapporto equitativo, per vedere come il loro quoziente non sia altro che, per così dire, la percentuale delle estrazioni con numeri gemelli in rapporto al numero dei gemelli stessi, dedotta da tutte le cinquine che possono comporsi con i 90 numeri. Il numero dei casi da considerare è dato pertanto da 28.715x0,853=24.494. A titolo di cronaca facciamo notare come il dato teorico sia straordinariamente vicino a ciò che si è effettivamente riscontrato nella pratica. L’analisi condotta dalla 1^ estrazione del 1871 all’ultima del 2002 ha evidenziato 28.564 gemelli sortiti su Tutte le ruote, ma 4140 di questi sono da inquadrarsi in sortite multiple, quindi il dato reale è pari a 24.424!

Tale numero tuttavia poteva anche essere dedotto più semplicemente, con la ricerca di tutte le estrazioni, semplici e multiple, dal 1871, con numeri gemelli, estrazioni che evidentemente sono date dal numero delle estrazioni complessive per la probabilità di estrazione, e cioè 64.610 x 0,379 = 24.487. Il valore del fattore di riduzione, in ogni caso, però non poteva non essere matematicamente riconosciuto, a costo di improprietà ed inesattezze facilmente rilevabili; tuttavia tale valore, per il calcolo dei ritardi, non comporta differenze sostanziali e poteva anche essere trascurato, ma poiché è stato determinato, se n’è tenuto conto nel calcolo dei ritardi stessi.

Terminiamo il presente paragrafo con il dare giustificazione dell’affermazione fatta in altra parte del presente trattato, che cioè il ritardo naturale di una combinazione di gioco non è che l’inverso della probabilità di estrazione. Tale probabilità infatti è, per definizione, il rapporto tra le cinquine che contengono la combinazione data ed il numero di tutte le cinquine che possono comporsi con i 90 numeri.

Se quindi le cinquine con la data combinazione fossero equamente distribuite fra tutte le cinquine dei 90 numeri, la distanza tra una cinquina e l’altra, o ciò che abbiamo chiamato il ritardo naturale, risulterebbe appunto dalla divisione tra tutte le cinquine e quelle che contengono la combinazione data o, in altri termini, sarebbe appunto l’inverso della probabilità di estrazione. Nel caso dei numeri gemelli il ritardo naturale per la estrazione semplice di uno di essi è dato da 43.949.268/16.663.932 = 2,64 estrazioni complete di 5 numeri, il ché vuol dire che c’è da attendersi l’estrazione semplice o multipla di numeri gemelli ogni 2 estrazioni e mezza, o poco più.

Non resta ormai che determinare il valore numerico dei ritardi in base alle relative equazioni risolutive.

Si riprenda perciò in esame la equazione risolutiva nella sua forma più generale:

Per chi ha cognizioni di calcolo logaritmico e conosca i principi su cui tale calcolo si fonda, la determinazione dell’incognita x non pone alcuna difficoltà. Per chi invece non abbia conoscenza di tale tipo di calcolo, diciamo che il calcolo logaritmico fa risparmiare tempo e fatica poiché consente di ridurre i problemi di moltiplicazione e divisione a problemi rispettivamente di addizione e sottrazione. Ad ogni modo, basta possedere una calcolatrice tascabile che possieda il tasto dei logaritmi per risolvere l’equazione risolutiva dei ritardi. Ecco comunque lo sviluppo simbolico dell’equazione risolutiva suddetta:

e se, come spesso avviene, c è uguale ad 1, il logaritmo di 1 è uguale a 0, ed allora si ha:

espressione che riduce le operazioni aritmetiche ad una sottrazione ed una divisione.

Chiudiamo con un esempio pratico, riferito al calcolo del ritardo massimo per la combinazione di ambo secco a ruota. L’equazione risolutiva risulta la seguente:

Al primo membro abbiamo il valore di probabilità contraria, al secondo abbiamo l’1 che corrisponde al caso cercato e 646.100 che corrisponde alla quantità di ambi estratti dal 1° Gennaio 1871 al 31 Dicembre 2002:

Il ritardo massimo di un ambo secco a ruota risulta di circa 5351 estrazioni. Analogamente viene effettuato il calcolo di qualsiasi altro ritardo nel sorteggio delle combinazioni. Per l’ambo a Tutte, il valore va ovviamente diviso per 10, quindi si otterrebbe 535,1.

In questa seconda parte vengono calcolati i ritardi, naturale, normale e massimo delle tre combinazioni elementari di gioco: estratto semplice, estratto determinato ed ambo, e dei molteplici raggruppamenti numerici ai quali le combinazioni stesse possono essere associate.

Tutto ciò viene riportato in tre distinti capitoli e per ogni combinazione vengono date le indicazioni e delucidazioni necessarie per comprendere come si sia pervenuti ai risultati riportati.

Vengono anche indicati quali sono stati i ritardi massimi rilevati per mezzo dell’indagine statistica, cosicché il lettore avrà la possibilità di confrontare i risultati stessi e di rendersi conto del valore di questo nuovo metodo di ricerca, senza per questo sminuire la bontà dell’antico, e fino ad ora esclusivamente praticato, metodo basato sull’indagine statistica.

Per la ricerca dei ritardi, e a scopo si esemplificazione, verranno riportati tutti gli elementi necessari per stabilire le equazioni risolutive, le quali, il più delle volte, verranno omesse, lasciando al lettore il compito di formularle sulla base degli elementi stessi.

Per ogni combinazione di gioco viene anche indicato il premio unitario, per ogni lira giocata, corrisposto dall’amministrazione del Lotto in caso di vincita.

In prima appendice è stato trattato il problema relativo alle combinazioni dei terno e quaterna, con il preciso scopo di dimostrare la scarsa, anzi nulla o negativa, convenienza economica di perseguire tali giochi, in confronto a quelli più redditizi che si possono perseguire con le combinazioni di ambo, di estratto determinato e di estratto semplice.

In seconda appendice, per ogni combinazione di gioco, è stato calcolato il coefficiente di convenienza economica e cioè il rapporto tra l’incasso netto in caso di vincita e l’incasso netto che dovrebbe derivarne se il Lotto fosse un gioco equo, tenuto conto della mancata restituzione della posta di gioco in caso di vincita. Il lettore avrà così la possibilità di valutare tutte le combinazioni e di scegliere quelle che si prestano meglio e che si presentano più favorevoli.

Infine, in terza appendice, vedremo di estendere la teoria ed il calcolo matematico dei ritardi alla moda del momento, il Superenalotto. Anche in questo caso esporremo i dati teorici che saranno poi messi a confronto con quelli statisticamente registrati.

1. - Estratto semplice in una ruota determinata, in una qualsiasi delle dieci ruote e in tutte le ruote. - Rapporto equitativo e probabilità di estrazione 1/18 = 0,056; probabilità di non estrazione 17/18 = 0,944; fattore di riduzione uguale ad 1. - Estratto semplice in una ruota determinata, in una qualsiasi delle dieci ruote e in tutte le ruote. - Rapporto equitativo e probabilità di estrazione 1/18 = 0,056; probabilità di non estrazione 17/18 = 0,944; fattore di riduzione uguale ad 1.

Estrazioni complete di 5 numeri effettuate dall’1/1/1871 al 31/12/2002: 7.205;

Estratti in tutte le ruote (totale che tiene conto di quando le estrazioni si basavano su 7, 8 e 10 ruote, nonché di un’estrazione completa non effettuata nel 1961, e ancora dei vari salti su diverse ruote dovuti al periodo bellico): 323.050.

Per l’estratto semplice il record si è registrato con un ritardo pari a 202 estrazioni con il numero 8 sulla ruota di Roma nel 1941. Per ciò che concerne il ritardo su tutte le ruote, nella storia recente del Lotto a 10 ruote non si è mai andati oltre le 20 estrazioni di ritardo (tra i vari segnaliamo l’ultimo, il numero 12 che uscì il 18.01.1992 dopo aver tardato per 20 estrazioni). Ricordiamo comunque che il dato relativo al massimo ritardo storico su una ruota (le 202 estrazioni dell’8 di Roma) è riferito ad un periodo in cui ci fu il salto da 8 a 10 ruote (sulle ruote di Cagliari e Genova le estrazioni iniziarono l’8/7/1939). Ad ogni modo i dati teorici e statistici sono approssimativi anche in virtù della disomogeneità del campione esaminato. L’estratto semplice ha un buon ritardo quando raggiunge all’incirca 9 volte il valore del ritardo naturale (162 estrazioni per un numero su una ruota) ed ha un premio unitario pari a 11,23 volte la posta giocata.

2.- Estratto semplice nel gruppo di due numeri consecutivi, per il sorteggio di uno dei due. - Rapporto equitativo 1/9 = 0,111; probabilità di estrazione 4.773.516/43.949.268 = 0,108; probabilità di non estrazione 39.175.752/43.949.268 = 0,802; fattore di riduzione pari a:

Gruppi contenuti in 90 numeri, 90: ogni numero figura in due gruppi, ad esempio il numero 18 figura nei gruppi 17-18 e 18-19.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata, pari al numero degli estratti dal 1871, moltiplicato per 2, dato che ogni numero estratto trova riferimento in 2 gruppi, moltiplicato ancora per il fattore di riduzione, onde tener conto delle estrazioni multiple, e cioè:

Come si nota, a parte lo scarto quasi insignificante di qualche lunghezza, siamo in linea con quanto affermato dal calcolo teorico.

3. Gruppo di due numeri simmetrici, per il sorteggio di uno. - Sono simmetrici i numeri, quali ad esempio 25 e 66, che hanno per somma 91. La differenza tra questo gruppo ed il precedente sta nel fatto che in 90 numeri vi sono 45 coppie di simmetrici (comprese le coppie consecutive 90-1 e 45-46), mentre ve ne sono 90 di consecutivi, ed ogni numero figura in una sola coppia.

Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario come per i consecutivi.

I casi per i ritardi, normale e massimi, risultano la metà dei precedenti (proprio in virtù del dimezzamento della quantità dei gruppi) quindi si otterranno i seguenti valori di ritardo:

Ritardo statistico di una coppia per estratto = 101 estrazioni (Milano nel 1904 con 7-84).

Tutto quanto è stato detto a proposito delle coppie di numeri simmetrici vale anche per quelle composte da numeri aventi distanza 45, quali 13 e 58, 20 e 65 etc., quindi anche i ritardi risultano uguali. Una coppia di numeri aventi distanza 45 ha tardato per un massimo di 108 estrazioni a fornire l’estratto (sulla ruota di Roma nel 1952 con i numeri 42-87).

4. Gruppo di due numeri vertibili, per il sorteggio di uno. - Sono vertibili le coppie di numeri composti da cifre invertite, tipo 37 e 73, 46 e 64 e così via. Non hanno vertibile i "numeretti" (numeri da 1 a 9), gli "zerati" (numeri in finale "0"), i "gemelli" (numeri composti da due cifre uguali) e quelli in finale "9" (9-19-29 etc.).

Nei 90 numeri vi sono 28 coppie di numeri vertibili e quindi i casi da prendere in considerazione per il calcolo dei ritardi sono in quantità minore rispetto, ad esempio, ai 45 ambi simmetrici. Ovviamente anche i ritardi risultano diminuiti in proporzione (di 4 estrazioni):

Ritardo statistico di una coppia per estratto = 119 estrazioni (Milano 1971 con 75-57).

Anche nei casi sopra descritti il calcolo teorico, pressappoco, si identifica con la realtà del dato statistico, ad ennesima dimostrazione che, fatte salve le "normali" eccezioni, tutti gli eventi sottostanno a precise leggi di probabilità.

5. Gruppo di tre numeri equidistanti, per il sorteggio di uno. - Si definiscono equidistanti i numeri (3 o più), come 18-30-42, distanziati di 12 unità, che presi due a due successivamente danno una stessa differenza.

L’equidistanza va intesa in senso circolare, per modo che risultino equidistanti anche quelle terne di numeri in cui la distanza viene a determinarsi passando per il 90. Ad esempio i numeri 32-70-18 sono equidistanziati di 38, perché si suppone che i 90 numeri siano disposti circolarmente così che il numero 1, e seguenti, faccia seguito al 90.

Rapporto equitativo 1/6 = 0,167; probabilità di estrazione 6.999.411/43.949.268 = 0,159; probabilità di non estrazione 36.949.857/43.949.268 = 0,841; fattore di riduzione:

Gruppi contenuti in 90 numeri: 90 x 44 = 3.960; ogni numero figura in: 44 x 3 = 132 gruppi. Sono compresi i gruppi consecutivi, le triple di decina e cadenza, alcune triple di figura, ed altre che normalmente fanno categoria a sé.

E’ bene chiarire che, poiché ogni numero figura in 132 gruppi diversi, ogni numero estratto dal 1871 ha trovato 132 riferimenti ai gruppi in cui figura il numero stesso, e quindi il numero dei casi da considerare è uguale al numero degli estratti moltiplicato per 132, il tutto moltiplicato poi per il fattore di riduzione, onde tener conto delle estrazioni multiple:

Ritardo statistico di una terzina per estratto = 99 estrazioni (Cagliari 1987 con 7-17-27).

6 - Gruppo di quattro numeri equidistanti, per il sorteggio di uno. - Rapporto equitativo 2/9 = 0,222; probabilità di estrazione 9.122.966/43.949.268 = 0,207; probabilità di non estrazione 34.826.302/43.949.268 = 0,793; fattore di riduzione:

Gruppi contenuti in 90 numeri: 90 x 43 = 3.870; ogni numero figura in: 43 x 4 = 172 gruppi.

Una quartina di numeri equidistanti ha tardato a dare l’estratto per 79 estrazioni (Venezia nel 1989 con i numeri 55-61-67-73).

7 - Gruppo di cinque numeri equidistanti per il sorteggio di uno. - Rapporto equitativo 5/18 = 0,278; probabilità di estrazione 11.147.751/43.949.268 = 0,254; probabilità di non estrazione 32.801.517/43.949.268 = 0,746; fattore di riduzione 0,915.

Gruppi contenuti in 90 numeri: 90 x 43 = 3870; ogni numero figura in 43 x 5 = 215 gruppi.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata 7.087.018; per il ritardo massimo in una ruota qualsiasi 63.552.011.

Uno dei massimi statistici si registrò sulla ruota di Torino con i numeri 54-81-18-45-72 che tardarono a fornire l’estratto per 52 estrazioni.

8 - Estratto nella decina, naturale o cabalistica, e nella figura, per il sorteggio di un numero. - La decina si definisce naturale quando la numerazione segue l’ordine dall’1 allo "0" (ad esempio dal 21 al 30), mentre è cabalistica quando segue l’ordine dallo "0" all’1 (ad esempio dal 20 al 29). La figura è una serie di 10 numeri in cui la somma delle cifre divisa per 9 dà uno stesso resto, il cui valore è quello che identifica la figura; ovviamente anche i numeri stessi divisi per 9 forniscono identico resto; ad esempio la figura 7 è costituita dai numeri 7-16-25-34-43-52-61-70-79-88, vale a dire tutti i numeri compresi tra l’1 ed il 90 che divisi per 9 danno resto 7. Agli effetti dei ritardi tali raggruppamenti si equivalgono: La decina si definisce naturale quando la numerazione segue l’ordine dall’1 allo "0" (ad esempio dal 21 al 30), mentre è cabalistica quando segue l’ordine dallo "0" al 9 (ad esempio dal 20 al 29). La figura è una serie di 10 numeri in cui la somma delle cifre divisa per 9 dà uno stesso resto, il cui valore è quello che identifica la figura; ovviamente anche i numeri stessi divisi per 9 forniscono identico resto; ad esempio la figura 7 è costituita dai numeri 7-16-25-34-43-52-61-70-79-88, vale a dire tutti i numeri compresi tra l’1 ed il 90 che divisi per 9 danno resto 7. Agli effetti dei ritardi tali raggruppamenti si equivalgono:

Casi per il ritardo normale 9. Casi per i ritardi massimi pari al numero degli estratti dal 1871 moltiplicato per il fattore di riduzione, vale a dire 29.360 casi per il ritardo massimo in una ruota determinata e 263.286 casi per il calcolo del ritardo in una ruota qualsiasi. Abbiamo quindi:

Nella ruota di Roma la decina cabalistica 40/49 tardò 25 estrazioni a fornire l’estratto, la decina naturale 11/20 sulla ruota di Napoli tardò 21 estrazioni e la figura 3 a Genova tardò 20 estrazioni prima di fornire un estratto.

9 - Estratto nella cadenza, per il sorteggio di un numero. - La cadenza è una serie di 9 numeri aventi per unità una stessa cifra, come ad esempio 2-12-22-32-42-52-62-72-82. - Estratto nella cadenza, per il sorteggio di un numero. - La cadenza è una serie di 9 numeri aventi per unità una stessa cifra, come ad esempio 2-12-22-32-42-52-62-72-82.

Rapporto equitativo 9/18 = 0,500; probabilità di estrazione 18.327.672/43.949.268 = 0,417; probabilità di non estrazione 25.621.596/43.949.268 = 0,583; fattore di riduzione 0,833.

Casi per il ritardo normale 10; casi per il ritardo massimo in una ruota determinata 30.009 e per il ritardo massimo in una ruota qualsiasi 269.101:

10 - Estratto nella serie dei numeri gemelli per il sorteggio di uno. - I gemelli, notoriamente, sono i numeri composti da due cifre uguali: 11-22-33-44-55-66-77-88. Rapporto equitativo pari a 8/18 = 0,444; probabilità di estrazione 16.663.932/43.949.268 = 0,379; probabilità di non estrazione 27.285.336/43.949.268 = 0,621; fattore di riduzione 0,855. - Estratto nella serie dei numeri gemelli per il sorteggio di uno. - I gemelli, notoriamente, sono i numeri composti da due cifre uguali: 11-22-33-44-55-66-77-88. Rapporto equitativo pari a 8/18 = 0,444; probabilità di estrazione 16.663.932/43.949.268 = 0,379; probabilità di non estrazione 27.285.336/43.949.268 = 0,621; fattore di riduzione 0,855.

Per il ritardo normale bisogna pensare che nei 90 numeri vi siano 90/8 di tali gruppi ordinati.

I ritardi massimi si calcolano in base al numero dei gemelli che possono essere stati estratti dal 1871 e cioè 8/90 degli estratti complessivi moltiplicato per il fattore di riduzione, onde escludere le estrazioni multiple.

La serie dei numeri gemelli tardò a fornire l’estratto per 18 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia.

11 - Tripla di decina o di figura per il sorteggio di un numero. - Anche le triple di decina e di figura agli effetti dei ritardi si equivalgono e sono gruppi di tre numeri distanziati di tre in una stessa decina o in una stessa figura, come 22-25-28 per la decina 20 e 16-43-70 per la figura 7. Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario come per le terne di equidistanti. - Tripla di decina o di figura per il sorteggio di un numero. - Anche le triple di decina e di figura agli effetti dei ritardi si equivalgono e sono gruppi di tre numeri distanziati di tre in una stessa decina o in una stessa figura, come 22-25-28 per la decina 20 e 16-43-70 per la figura 7. Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario come per le terne di equidistanti.

Triple contenute in 90 numeri: 36; ogni numero figura in una sola tripla, tranne i numeri in cadenza 3 e 6 per le decine, dal 28 al 36 e dal 55 al 63 per le figure, che figurano in due triple.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata circa 32.700 e per il ritardo in una ruota qualsiasi circa 283.000:

Tra i massimi registrati segnaliamo la tripla in decina 52-55-58 che tardò su Torino 83 estrazioni, e la tripla in figura 18-45-72 che tardò 52 estrazioni sulla stessa ruota.

12 - Tripla di cadenza per il sorteggio di un numero. - La tripla di cadenza è costituita da tre numeri equidistanziati di 30 ed essa differisce di poco da quella di decina o di figura, in ragione del lieve maggior numero di queste ultime. Infatti le triple di cadenza contenute nei novanta numeri sono 30, ed ogni numero figura in una sola tripla.

Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario come per le terne equidistanti.

La tripla 19-49-79 tardò a dare l’estratto sulla ruota di Napoli 63 estrazioni.

13 - Cinquine ordinate pari o dispari, in figura pari o in figura dispari, per il sorteggio di un numero. - Questi raggruppamenti si equivalgono, e sono formati dalle cinquine ordinate pari o dispari di una stessa decina o di una stessa figura.

Nei 90 numeri sono contenute 18 cinquine pari/dispari (divise a metà tra le une e le altre) e 18 in figura pari o in figura dispari (idem); ogni numero appartiene ad un’unica cinquina.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata circa 31.000 e per il ritardo massimo in una ruota qualsiasi circa 272.000:

14 - Gruppo di due numeri sincroni per il sorteggio di uno. - Sono sincroni i numeri già usciti contemporaneamente in una ruota e di cui se ne attende il nuovo sorteggio.

Per questa categoria di raggruppamenti i ritardi normali devono calcolarsi in base al numero dei gruppi contenuti in 18 cinquine, quante risultano cioè dai 90 numeri divisi per 5; i ritardi massimi, al solito, da tutti i gruppi di numeri sincroni estratti dal 1871 nelle 6.679 estrazioni avvenute in una ruota determinata, e nelle 59.350 estrazioni complete in tutte le ruote, per i relativi fattori di riduzione.

Ecco i massimi statistici registrati (dati rilevati dal volume "Il Lotto del 2000" di L. Gorgia):

Da notare che il gioco sui sincroni può tener conto anche dei molteplici raggruppamenti omogenei visti per il gioco sull’estratto in coppia. In tali casi, sono stati registrati i seguenti massimi statistici:

Come si vede, anche nel caso del sincronismo, il ricorso ai raggruppamenti "alternativi" contribuisce ad abbattere notevolmente il rischio di grossi valori di ritardo. Ad ogni modo, per ciò che concerne i raggruppamenti suddetti è abbastanza raro riscontrare casi interessanti per il gioco.

15 - Gruppo di tre numeri sincroni per il sorteggio di uno. - Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario sono gli stessi del gioco su una terzina di equidistanti.

Casi per il ritardo normale 180, vale a dire come per i due sincroni, questo perché con 5 numeri la quantità di terni componibili (cioè 10) è uguale a quella degli ambi.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata pari alla quantità di estrazioni complete di 5 numeri effettuate dal 1871, moltiplicato per 10 ed ancora per il fattore di riduzione:

Casi per il ritardo massimo in una qualsiasi ruota pari alla quantità di estrazioni complete di 5 numeri effettuate in tutte le ruote dal 1871, moltiplicato per 10 e per il fattore di riduzione:

Tre numeri sincroni hanno tardato al massimo 71 estrazioni prima di fornire l’estratto, e questo in due casi: nel 1911 con i numeri 58-73-84 sulla ruota di Torino e nel 1994 con i numeri 1-49-53 su quella di Roma.

16 - Gruppo di quattro numeri sincroni per il sorteggio di uno. - Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario sono gli stessi del gioco su una quartina di equidistanti.

I casi per il ritardo normale risultano la metà di quelli per il gioco su una coppia di sincroni in quanto in ogni estrazione completa di 5 numeri si hanno 5 quaterne invece di 10 ambi o 10 terni.

Casi per il ritardo massimo in una ruota determinata 33.395 x 0,93 = 31.057, e per quello in una ruota qualsiasi 296.750 x 0,93 = 275.978:

Per ciò che concerne i massimi statistici registrati c’è da dire che si è andati diverse volte oltre le cinquanta estrazioni di assenza ed una sola volta oltre le sessanta (sessantadue, per la precisione).

17 - Gruppo di cinque numeri sincroni per il sorteggio di uno. - Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, fattore di riduzione, ritardo naturale e premio unitario sono gli stessi del gioco su una cinquina di equidistanti.

Casi per i ritardi massimi pari al numero delle estrazioni complete per il fattore di riduzione, e cioè:

Il ritardo massimo registrato per l’estratto in una cinquina di numeri sincroni ammonta a 49 colpi, un dato che si discosta non poco da quello teorico, ma quello statistico estremamente elevato è un dato che rappresenta una classica eccezione, difficilmente superabile nel prossimo futuro.

18 - Estratto del numero della data di estrazione. - Il gioco sul numero data coinvolge il giorno del mese in cui si effettua l’estrazione. Il numero della data di estrazione, come ogni altro numero, ha un ritardo naturale di 18 estrazioni ed evidentemente riguarda solo i numeri dall’1 al 31, in misura uguale per i primi 28 numeri ed in misura diversa per i numeri 29, 30 e 31, e ciò evidentemente è dovuto agli effetti degli anni bisestili ed alla diversa durata dei mesi (7 mesi da 31 giorni e 4 da 30 giorni).

Prescindendo da tali differenze che comportano una lieve diminuzione dei ritardi per i numeri 29 e 30 e più forte per il 31, e supponendo quindi che tutti i mesi siano formati da 30 giorni, il ritardo normale dev’essere cercato appunto in 30 numeri, e i ritardi massimi in base al numero degli estratti, con la data di estrazione, che possono essere avvenuti dal 1871 e cioè 6.679/18 = 371 per il ritardo massimo in una ruota determinata e 59.350/18 = 3.297 per quello in una ruota qualsiasi.

Rapporto equitativo, probabilità di estrazione e di non estrazione, ritardo naturale e premio unitario come per il gioco di estratto semplice su un numero qualsiasi:

L’analisi statistica ha messo in evidenza ritardi anche superiori a 130 estrazioni, con un massimo registrato pari a 135 estrazioni.